In matematica, semplici equazioni possono generare una complessa evoluzione nel tempo e intriganti schemi nello spazio. Un famoso esempio di questo è l'insieme di Mandelbrot, prende il nome dal matematico franco-americano di origine polacca, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), il frattale più studiato. Questo insieme si basa su una singola equazione quadratica con un solo parametro e una variabile. Gli affascinanti modelli frattali dell'insieme di Mandelbrot hanno attirato l'attenzione ben oltre la matematica.

Un articolo di Ralph Andrzejak, intitolato "Chimere confinate da confini frattali nel piano complesso, " fa parte di un'edizione speciale della rivista Caos in memoria del professore russo Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), pubblicato il 3 maggio 2021. Andrzejak è a capo del gruppo di analisi delle serie temporali non lineari presso il Dipartimento delle tecnologie dell'informazione e della comunicazione (DTIC) dell'UPF. Il lavoro generalizza l'insieme di Mandelbrot per quattro equazioni quadratiche. La figura mostrata sopra è un esempio dei modelli generati attraverso questo approccio.

Un viaggio attraverso molti ordini di grandezza

Andrzejak osserva che "la complessità dei modelli frattali può essere vista quando ci avviciniamo a dettagli sempre più piccoli, " che l'autore illustra nell'immagine sottostante. Spiega l'immagine dicendo che "a livello globale, lo schema mostrato nel pannello in alto a sinistra della figura ricorda l'insieme classico di Mandelbrot. Però, non appena controlliamo i dettagli, possiamo vedere modelli che non possono essere trovati nell'insieme di Mandelbrot. Per vedere meglio questi dettagli, ingrandiamo il quadrato per produrre il pannello successivo."

"Zoom iterativo nei modelli frattali. Da sinistra a destra e dall'alto verso il basso, i pannelli successivi ingrandiscono i quadrati dei corrispondenti pannelli precedenti. La prima figura sopra appare di nuovo, qui come il quinto passo nell'ingrandimento.

L'autore usa un confronto per sottolineare che questi modelli sono effettivamente a molti ordini di grandezza. Afferma che "lo zoom applicato ai dodici pannelli che compongono l'immagine corrisponde a far esplodere un atomo delle dimensioni di un SUV". "Mentre ingrandiamo, aumentare le dimensioni dell'immagine, vediamo che c'è una ricca varietà di forme e forme esteticamente intriganti. I modelli che abbiamo scoperto possono sembrare meno filigranati e meno ordinati, ma possono essere più vari di quelli trovati nell'insieme di Mandelbrot."

Interazione di frattali e sincronizzazione

Ma c'è più di schemi frattali per avvicinarsi alla proposta di Andrzejak. Poiché l'autore usa quattro equazioni invece di una, è stato anche in grado di studiare la sincronizzazione all'interno di questi modelli frattali. Come possiamo capire questo? Andrzejak spiega dicendo "l'insieme di Mandelbrot si basa su un'equazione con un parametro e una variabile. Possiamo immaginare questa variabile come una pallina che si muove sulla superficie di una grande tavola rotonda. Quello che succede a questa pallina dipende dal parametro del equazione. Per alcuni valori di questo parametro, la palla si muove ed è sempre sul tavolo. L'insieme di tutti questi valori dei parametri per i quali la pallina rimane sul tavolo è ciò che definisce l'insieme di Mandelbrot. Anzi, per i restanti valori dei parametri, la palla cade dal tavolo ad un certo punto nel tempo."

Andrzejak continua dicendo che "si potrebbe pensare che le quattro equazioni che stiamo usando descrivano il movimento non solo di una, ma quattro palline sulla superficie del tavolo. Poiché le equazioni sono connesse, le palle non possono muoversi liberamente. Però, si attraggono a vicenda, come il sole, Terra e luna si attraggono per gravità." Il ricercatore aggiunge che "come risultato di questa attrazione, le quattro sfere possono mostrare varie forme di sincronizzazione. I due estremi sono:le quattro palle si muovono insieme lungo gli stessi percorsi o ogni palla segue il proprio percorso." Andrzejak sottolinea poi che "soprattutto, al di là di questi estremi, sta trovando la cosiddetta sincronizzazione parziale. Per esempio, due palline possono muoversi insieme in sincronia, mentre le altre due sfere rimangono non sincronizzate da questo movimento. Questo particolare stato di sincronizzazione parziale è chiamato stato chimera, "da qui il titolo dell'articolo.

Una questione di grande importanza per le dinamiche del mondo reale

Se ci chiediamo se il modello matematico in questione può essere rilevante per le dinamiche del mondo reale, Andrzejak risponde "Sì. Assolutamente. L'esempio migliore è il cervello. Se tutti i nostri neuroni si sincronizzavano o perdevano la sincronizzazione, il nostro cervello non potrebbe più fare il suo lavoro. Il nostro cervello può funzionare correttamente solo se alcuni neuroni si sincronizzano mentre altri neuroni rimangono fuori sincronia. La sincronizzazione parziale è essenziale per il corretto funzionamento del cervello." L'autore lo collega al suo lavoro dicendo:"dimostriamo come sia possibile stabilire una sincronizzazione parziale in un modello molto semplice e, Inoltre, mostriamo come questa sincronizzazione parziale sia confinata entro i limiti frattali attraverso la sincronizzazione e la desincronizzazione complete." L'autore conclude:"Se studiamo i meccanismi di base della sincronizzazione parziale in modelli molto semplici, questo può aiutare a capire come si stabilisce e come può essere mantenuto stabile in sistemi così complessi come il cervello umano".