Il professore invitato della RUDN University Durvudkhan Suragan e un team di colleghi hanno ottenuto e stabilito nuovi tipi di disuguaglianze funzionali. Le disuguaglianze di Hardy sono un tipo importante di risoluzione dei problemi nella fisica matematica. I risultati dello studio sono stati pubblicati in Progressi in matematica .

Le proprietà delle cosiddette disuguaglianze di Hardy sono studiate dai matematici di tutto il mondo da circa un secolo. Sono relazioni di un certo tipo per serie e integrali. Le disuguaglianze di Hardy sono studiate nell'analisi funzionale e utilizzate come strumento ausiliario in molte aree della matematica e della meccanica, così come nella teoria delle equazioni differenziali degeneri (nelle derivate parziali di tipo ellittico), teoria dello spettro, analisi non lineare e teoria dell'interpolazione.

La maggior parte degli studi sulle disuguaglianze di Hardy e sui loro analoghi sono condotti in spazi vettoriali euclidei. Dal punto di vista della matematica superiore, uno spazio euclideo è un insieme di elementi arbitrari su cui è data un'operazione di prodotto scalare. Gli spazi bi e tridimensionali sono casi speciali di spazi euclidei. Un team di RUDN ha esteso la teoria delle disuguaglianze di tipo Hardy e le ha studiate in termini di oggetti matematici più complicati:gruppi topologici omogenei.

Un insieme di elementi si dice gruppo topologico se è spazio topologico e gruppo allo stesso tempo, e le operazioni di derivazione del prodotto e dell'elemento inverso sono continue. Un sistema di sottoinsiemi (topologia) di proprietà speciali si trova in uno spazio topologico. Oltre ai sottoinsiemi stessi, la topologia include i loro aggregati costituiti da un numero arbitrario di elementi, così come le intersezioni (solo quelle finite), e insiemi vuoti. La presenza di una struttura di gruppo significa che un'operazione algebrica associativa è data per l'insieme, contiene la cosiddetta "figura dell'uno" (quella che ha le proprietà di 1 nella moltiplicazione), e tutti gli elementi hanno quelli inversi.

I metodi esistenti per stabilire le disuguaglianze funzionali in gruppi topologici omogenei si basano sullo studio delle proprietà delle norme. Una norma in matematica è una funzione composta non negativa che soddisfa determinati requisiti. Il modulo numerico e la lunghezza del vettore sono semplici esempi di norme. Nuovi metodi suggeriti dagli autori dello studio consentono di lavorare con norme casuali, funzioni composte non strettamente determinate e fisse che erano usate in precedenza.

Il risultato del lavoro del team è stato ottenere e stabilire nuovi tipi di disuguaglianze di Hardy in gruppi omogenei. Particolare attenzione è stata data all'analisi nei gruppi abeliani. L'abelianità (o commutatività) si esprime nell'indipendenza del risultato di un'operazione di gruppo dall'ordine degli elementi. Un caso specifico di commutatività è la nota regola "permutare le somme di una somma non cambia il valore della somma". Gli scienziati sottolineano che le disuguaglianze appena ottenute possono essere utilizzate nella teoria delle equazioni differenziali non lineari.

I risultati dello studio sono principalmente teorici e fondamentali. I risultati esistenti dell'analisi delle disuguaglianze di tipo Hardy sono stati riconsiderati e ampliati a nuove classi di oggetti matematici. Perciò, potrebbero essere scoperte ulteriori applicazioni sconosciute per queste disuguaglianze.